Infinitos aos montes.
O Bernardo Motta propôs três axiomas a propósito da doutrina trinitária (1). Como dois são sobre o infinito vou fazer um pequeno desvio pela matemática. Coisa leve, prometo, até porque a minha matemática é fraca. Os axiomas:
«Axioma 1: o finito não pode conter o infinito.
Axioma 2: a existência do finito é consequência do infinito.»
Os números naturais são 1, 2, 3, e assim até nunca mais. Os números racionais são aqueles que são razão de dois números naturais: 1/2, 3/4, 1255/7996, também até nunca mais. Ambos os conjuntos são infinitos, e têm o mesmo número de elementos.
É estranho, porque entre quaisquer dois racionais (ou dois naturais), há um número infinito de racionais. Mesmo assim, podemos fazer corresponder cada racional a um natural, demonstrando que há tantos naturais como racionais. Estranho, mas sendo conjuntos infinitos alguma estranheza era de esperar.
Mas há mais estranho. Os irracionais são dízimas infinitas não periódicas, números que nunca se acaba de escrever. Como a raiz quadrada de 2 (1.414213562373095048801688724209...) ou pi (3.141592653589793238462643383279...), que não podem ser escritos como uma razão de dois inteiros. Não é de estranhar que também haja uma infinidade deles. O estranho é que são mais infinitos que os outros.
Imaginem que criamos uma lista ordenada com todos os irracionais entre zero e um. Ou seja, todos os números que são zero, vírgula, e uma carrada de dígitos que nunca mais acaba. São infinitos, mas vamos assumir que temos papel que chegue. Agora criamos um número irracional entre zero e um escrevendo zero, vírgula, qualquer dígito menos o primeiro digito do primeiro número da lista, depois qualquer dígito menos o segundo digito do segundo número da lista, e assim por diante. E temos um número irracional entre zero e um diferente de todos os irracionais entre zero e um. Uma contradição!
Ou seja, é impossível criar uma lista de irracionais entre zero e um, mesmo que a lista seja infinita. Estes são ainda mais infinitos que isso. E nem sequer são o mais infinito que há... Há uma infinidade de infinitos.
O primeiro axioma do Bernardo está correcto, mas incompleto. O infinito também não pode conter o infinito. Cantor, o matemático que ficou famoso por estas demonstrações, associava Deus ao infinito absoluto. O maior de todos os infinitos. Mas mesmo ele admitia que era uma noção incoerente. Não pode haver o infinito maior que todos porque há sempre um infinito maior.
E o segundo está errado. O infinito é que é um conceito derivado do finito. Não é por haver infinitos números naturais que eu posso ter três laranjas. É das três laranjas, e cinco pedras, e oito ovelhas que nós fomos generalizando o conceito de número, e de uma infinidade de números naturais, racionais, irracionais que nunca mais acaba. Mais que infinitos.
1- 11-4-07, Investigação Científica dos Mafaguinhos.
Mais informação sobre estes número estranhos:
Alexander Bogomolny, What is a number?
E sobre Georg Cantor:
Wikipedia
bom, já agora talvez me saibas responder a uma dúvida: a sequência de infinitos de potência superior (os alephas), que potencialidade tem? potência discreta, contínua, ou outra? sempre achei isto um pouco confuso (quão infinito é o conjunto dos infinitos)...
ResponderEliminarEpá, tu hoje estás a querer tramar-me com comentários lixados :)
ResponderEliminarPelo que sei, o aleph0 é um cardinal discreto (é a cardinalidade de N e todos esses, racionais, etc). Depois há a cardinalidade dos continuos (dos irracionais ou reais) que o Cantor colocou por hipótese como sendo o aleph1, mas segundo a wikipedia isso não se pode provar nem refutar (não me perguntes porquê).
Os outros alephs a seguir devem ser aínda pior...
vê aqui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number
Quando à infinidade dos infinitos, acho que é simples de perceber: pegas no infinito maior de todos, e obtens logo o seguinte que é maior ainda, por isso nunca é o maior de todos :)
Estes:
http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor's_paradox
http://en.wikipedia.org/wiki/Burali-Forti_paradox
sorry! :-)
ResponderEliminarsim, que os alephas são infinitos eu sei (segues de um para o próximo levantando à potência de 2, se não me engano). a minha questão era precisamente sobre a cardinalidade destes: se são um discreto infinito, um contínuo infinito, etc? parece-me curioso que no fim a cardinalidade do conjunto dos alephas seja equivalente a um infinito discreto --- que é precisamente o primeiro elemento do conjunto...
enfim, eu próprio estou confuso, vou ver os links que apontas...
Ludwig,
ResponderEliminarDesscupla... Sou de letras.
Não entendi bem o seguinte
"Agora criamos um número irracional entre zero e um escrevendo zero, vírgula, qualquer dígito menos o primeiro digito do primeiro número da lista, depois qualquer dígito menos o segundo digito do segundo número da lista, e assim por diante."
«segundo a wikipedia isso não se pode provar nem refutar»
ResponderEliminarTalvez por qualquer conjunto com a potência do contínuo não ser contável?
Caro Bramesky,
ResponderEliminarSendo os is os numeros irracionais e os ds os seus digitos, com d23 o digito 3 do irracional 2, a lista de numeros irracionais será assim:
i1 = 0, d11 d12 d13 ... (infinitos)
i2 = 0, d21 d22 d23 ... (infinitos)
i3 = 0, d31 d32 d33 ... (infinitos)
... (infinita).
Vamos supor que a lista tem todos os irracionais entre 0 e 1 (zero virgula qualquer coisa).
Agora vamos criar um irracional escrevendo 0, e uma série de dígitos. O primeiro dígito dessa série será diferente de d11, o segundo diferente de d22, o terceiro diferente de d33, e assim até ao infinito.
Com isto temos um número irracional que difere de qualquer outro pelo menos num dígito. Ou seja, não está na lista. Mas isto contradiz a hipótese da lista ser completa, pelo que a lista nunca pode ser completa.
Espero ter ajudado mais que baralhei :)
Ricardo (Carvalho, assumindo que não são ambos o Ricardo Alves ;)
ResponderEliminarCantor demonstrou que não há o conjunto de todos os alephs, por isso não podes falar da cardinalidade desse.
Aleph0 ^2 = Aleph0.
2^Aleph0 é a cardinalidade dos reais, um infinito continuo.
A hipótese de Cantor (não provável nem refutável) é que 2^Aleph0 = Aleph1. Aleph1 é a cardinalidade dos primeiros não contáveis, como as classes de equivalencia dos inteiros.
Mas os alephs são discretos, no sentido em que não há nenhum cardinal entre Aleph0 e Aleph1. Ou seja, um conjunto ou tem Aleph0 elementos ou Aleph1 elementos, mas não pode ter um numero intermédio de elementos, apesar de Aleph1 ser inifitamente maior que Aleph0.
É uma confusão, mas acho que eles fazem de propósito :)
Muito bom post! :)
ResponderEliminarO infinito é para mim um dos maiores desafios da ciência moderna, quer na física, quer na matemática. Será o espaço-tempo contínuo ou discreto? Será o Universo finito ou infinito? Haverá um Multiverso infinito constituído por infinitos Universos finitos? Haverá um HiperMegaMultiUniverso infinito constituido por MegaMultiUniveros finitos?
O problema é que se o Universo for finito isso é completamente contra intuitivo. Na nossa cabeça tem de haver sempre mais qualquer coisa. Mas se assumirmos que o Universo é infinito isso também é completamente contra intuitivo, não cabe na nossa cabeça!
Claro que alguns destes problemas podem ser resolvidos matematicamente de forma simples e racional, mas não creio que exista algum cientistas que realmente compreenda estes conceitos. É um pouco como a mecânica quântica, se alguém não ficar profundamente perturbado com este assunto é porque ainda não o percebeu muito bem... :)
Estes assuntos perturbam-me profundamente, mas ao mesmo tempo é talvez o meu pensamento preferido...:)
garantindo-te que nenhum de nós é esquizofrénico (e logo somos pessoas distintas!), sim, eu já me tinha convencido que tinha a ver com isso (apesar de ser curiosa a correspondência bijectiva com os inteiros) e que para tentar perceber melhor tinha que ir ler sobre categorias... pois como devo ter sido abusado por um functor quando era miúdo, decidi ficar-me por esta explicação mais simplista! :-) e ricardo (alves), eu acho que a hipótese do contínuo é bastante mais complicada do que simplesmente o que sugeres...
ResponderEliminarLudwig,
ResponderEliminarObrigado
Entendi perfeitamente.
Bramesky
ricardo:
ResponderEliminara classificação dos infinitos tem a forma de potência por convenção, não tem correspondência com a operação de potenciação de números da álgebra.
daí, suponho que uma potência não discreta de classificação de infinitos não fará muito sentido. mas, como na matemática há muita liberdade de criação, talvez seja possível definir tal coisa, tal como se definiu dimensão fractal como extensão das dimensões 'convencionais'.
Já que isto me interessa, onde é que posso ler sobre os Alephs?
ResponderEliminarAs minhas fontes foram wikipedia e semelhantes. Não tenho nenhum livro que possa recomendar...
ResponderEliminarnão te sei indicar um bom livro mas as páginas da wolfram podem ajudar (se te deres bem com textos recheados de hyperlinks, que me aborrecem, mas enfim):
ResponderEliminarhttp://mathworld.wolfram.com/topics/CardinalNumbers.html
Tal como o Joao moedas, o conceito do infinito sempre me impressionou, e é interessante reparar que "agora", o conceito do nada e do infinito pareçe ser posto em causa por algums fisicos conçeitoados. ao que pareçe a natureza tem horror ao nada e ao infinito, é credivel que eles sejam apenas conçeitos na nossa cabeça, algo que nao existam, é bem sabido que a matematica aplicada nunca lidou bem com infinitos e com o zero.
ResponderEliminarum dos temas que me precocupa na matematica é se essa ciencia terá limitações para descrever a realidade, ao pior ainda, ter tantas possibilidades de construção que poucas propabilidades temos de acertar "na Tal" que descreve o universo.
Chiça!!!
ResponderEliminarVocês entalaram o meu priminho, que tem 5 anos e que a todos os insultos responde com o clássico:"Tu é ...o insulto... vezes infinito"
Agora como é que lhe explico que se o puto do lado disser que tem um infinito maior que o dele para multiplicar o ...insulto... e devolvêr, até pode ter razão e ganhar o argumento?
A conta do psicólogo depois vai para vossas casas!...
:-)
eLudwig,
ResponderEliminarComo sempre, parte do pressuposto de que o seu interlocutor é ignorante, o que torna estas trocas de ideias um pouco frustrantes.
Não sei se saberá, mas tenho formação em Engenharia, e não sendo um engenheiro da cepa do Sócrates, fiz o meu curso no Técnico enfrentando com relativo sucesso as várias cadeiras de Matemática.
Pelo que é insensato supor que a minha ignorância acerca da Matemática é absoluta. Estou, certamente, longe de ser um Matemático, mas não se pode dizer que desconheça a matemática.
Partimos dessa base, se concordar!
Quando falo em "infinito" num contexto de Matemática estou a referir-me a algo diferente de "infinito" num contexto de Teologia. Isto deveria ser óbvio.
Em Metafísica, ou em Teologia, o "Infinito" é mesmo a última noção de todas. A noção impossível de definir, à qual se chega apenas por negação de limitações conceptuais.
Só se pode tentar entender o Infinito teológico se nos aproximarmos d'Ele de uma forma que consiste em negar que seja limitado de qualquer forma que seja.
Os exemplos que dá, caro Ludwig, são os previsíveis. Eu poderia ter escrito a sua reacção, de tal forma ela era previsível. A matemática moderna, graças ao desastrado uso do termo "infinito" gera estas confusões que poderiam não existir, se se tivesse mais algum cuidado linguístico.
O Ludwig fala em sequências de números que são indefinidas num certo sentido. Posso somar 1 a 1, e ter 2. E mais 1, tenho 3, e assim por diante, sem nunca parar. No sentido do crescimento dos números naturais, esta sequência pode ser desenvolvida sem se parar. De forma indefinidamente crescente.
Nada disto é infinito. Porquê? Porque a própria sequência que gera o conjunto N é uma sequência limitada. É limitada por não conter números negativos. É limitada por não conter números não inteiros. E é limitada por ser numérica, por não abarcar mais nenhuma dimensão do real.
Mas peguemos em R. Este conjunto já contém os negativos, os racionais e os irracionais. Mesmo assim, é limitada. Porque só existe numa dimensão.
Peguemos em R2, o espaço bidimensional de números reais. É limitado porque não contém mais dimensões acima da segunda.
E assim por diante.
Entende onde quero chegar?
Mesmo nos transfinitos de Cantor, não temos coisas verdadeiramente "infinitas", porque há sempre limitações conceptuais. Como é evidente, nenhuma noção de Cantor contém toda a realidade, sem qualquer limitação conceptual.
Só Deus é o verdadeiro Infinito.
Posto de outra forma: os homens inteligentes apercebem-se da necessidade deste "limite" intelectual ilimitado. Da necessidade de existir um ente (se é que se pode usar a palavra "ente" para algo sem limites) que represente este "zénite conceptual".
Esses homens inteligentes usam termos como "Deus", "Alá", "Brahma" para designar esse Infinito que não é limitado de forma alguma.
Daqui para a frente, peço-lhe só um favor simples: se não entender alguma da minha argumentação, assuma primeiro que há problemas na comunicação. Esses problemasaté podem ser, e são quase sempre, culpa minha. Mas assumir que o nosso interlocutor é totalmente ignorante (sou ignorante em parte, mas não totalmente), ou que não fez os raciocínios mais básicos, é deselegante.
Um abraço,
Caro Bernardo,
ResponderEliminarNão assumi nada acerca da sua formação, conhecimento ou falta dele. Nem sei o que o Bernardo sabe nem é relevante. As duas vezes que menciono o seu nome indicam apenas quem me propôs esses axiomas de que falo, mais nada.
A relevância da matemática é refutar esta afirmação:
«Em Metafísica, ou em Teologia, o "Infinito" é mesmo a última noção de todas»
Nesse caso o seu infinito é um termo incoerente e sem significado. Não pode ser a última porque há sempre mais uma.
«Mesmo nos transfinitos de Cantor, não temos coisas verdadeiramente "infinitas", porque há sempre limitações conceptuais»
E mesmo com essas limitações nunca temos o verdadeiro infinito. Posso dar um exemplo concreto. Vamos assuimir que o seu deus é capaz de pensar em infinitos números. É sempre possível conceber um deus tal e qual o seu mas que é capaz de pensar em ainda mais números. Por isso o seu deus nunca pode ser o último infinito -- há sempre um infinito maior.
E os transfitinos referem-se à estrutura de conjuntos infinitos, independentemente do que os conjuntos contém, por isso este resultado não se aplica só aos numeros mas a qualquer conjunto de conceitos que se conceba.
O favor que me pede é fácil de conceder. Por principio, só assumo que um interlocutor é ignorante se a alternativa for concluir má vontade. É raro, e não é o caso nesta nossa discussão.
Em troca peço-lhe que não me acuse constantemente de o fazer. Se discordo de si nem é por eu ser ignorante nem por assumir que o Bernardo é ignorante, mas por ter uma opinião diferente. E se explico porquê não é para chamar ignorante a alguém, mas para justificar esta diferença de opinião. É só isso.
Ludwig,
ResponderEliminarComo bem sabe, o uso excessivo de sarcasmo conduz àquela fronteira entre a saudável e legítima crítica de ideias opostas às nossas e a não tão saudável depreciação do interlocutor.
Eu sei do que falo, porque tenho também essa tendência. É como se aquilo que lhe peço fosse algo que peço a mim mesmo constantemente.
Entre criticar ideias e criticar os seus defensores, a fronteira é por vezes demasiado ténue para que a saibamos evitar.
Sinceramente, deu-me a impressão de que me estaria a tentar ensinar coisas elementares de matemática liceal. Mas vejo que fui precipitado. Adiante...
«Posso dar um exemplo concreto. Vamos assuimir que o seu deus é capaz de pensar em infinitos números.»
É evidente que é.
«É sempre possível conceber um deus tal e qual o seu mas que é capaz de pensar em ainda mais números.»
Não, não é.
É por estas e por outras que eu me sinto sempre com problemas de comunicação. Porque não me é fácil, ao mesmo tempo, dominar a linguagem metafísica e tentar explicá-la aos outros. No plano da metafísica, já não há espaço para especulações quantitativas como a sua. Deus é capaz de pensar tudo, e pensa-o continuamente. A quantidade é uma modalidade específica da existência corpórea. Deus não tem existência corpórea, logo, não faz sentido fazer raciocínios quantitativos como o seu.
Note bem que os transfinitos de Cantor não têm qualquer problema como especulação matemática, e poderão mesmo (não sei se é o caso) dar origem a aplicações úteis. Não é isso que está em causa. O que eu digo é que a estrutura de raciocínio por detrás desta sua argumentação pressupõe o manuseamento da quantidade. O Ludwig fala-me num "deus" que pensaria "em ainda mais números". Ao dizer-me esta frase, eu vejo-me forçado a ter que lhe dizer que o Ludwig está a cometer um erro ao pensar que o pensamento divino, imediato por natureza, é um pensamento sujeito à estrutura quantitativa.
Isso não faz sentido.
O que sucede com o seu exemplo é um ilícito transportar do raciocínio quantitativo (apenas aplicável a uma fracção diminuta e restrita da realidade) para um domínio no qual ele não faz sentido.
«Por isso o seu deus nunca pode ser o último infinito -- há sempre um infinito maior.»
Note, Ludwig, que a sua analogia não é válida em Metafísica. Há tempos, tive várias trocas de argumentos com o João Vasco por causa daquelas tretas de argumentos do "Deus que não é capaz de, simultaneamente, criar algo tão pesado que não o possa levantar". São raciocínios que se tornam inválidos por serem feitos com base em regras e preceitos que só se aplicam na nossa existência corpórea. Considere que Deus é como se fosse uma assímptota para os nossos raciocínios quantitativos. Está fora do alcance dos mesmos.
Um abraço,
E os transfitinos referem-se à estrutura de conjuntos infinitos, independentemente do que os conjuntos contém, por isso este resultado não se aplica só aos numeros mas a qualquer conjunto de conceitos que se conceba.
Esqueci-me deste trecho final:
ResponderEliminar«E os transfitinos referem-se à estrutura de conjuntos infinitos, independentemente do que os conjuntos contém, por isso este resultado não se aplica só aos numeros mas a qualquer conjunto de conceitos que se conceba.»
O mal do uso abusivo do termo "infinito" na matemática moderna já vem de trás.
Já a escolástica medieval trazia essa imperfeição terminológica quando falava, referindo-se à inesgotabilidade do quantitativo, ao "infinitum secundum quid". Para, claro, o distinguir do verdadeiro "infinito" divino.
Há uma grande (enorme) diferença entre a inesgotabilidade quantitativa da recta real e a verdadeira infinitude conceptual.
Os "transfinitos" de Cantor, sendo estruturas matematicamente válidas, receberam uma designação, na minha opinião, horrível! "Transfinito", como agregado de "infinitos" é um contrasenso. Porque nesse caso não estamos perante verdadeiros "infinitos"! Apenas há um e um só Infinito.
Note que, nesse caso, os vários conjuntos componentes de um transfinito não são, na verdade, "infinitos". São apenas conjuntos quantitativamente inesgotáveis. São, na verdade, pseudo-infinitos. Porque se fossem verdadeiros infinitos não seriam vários mas um. Não seriam nunca superáveis.
Se a terminologia escolástica pegasse agora no trabalho de Cantor, diria que um transfinito era um agregado de conjuntos quantitativamente inesgotáveis do tipo "infinitum secundum quid".
Esta questão importante está tratada, que eu saiba, numa única obra.
Trata-se do "Principes du calcul infinitésimal" de René Guénon, obra de 1946. Obra que necessariamente recomendo.
Um abraço,
Caro Bernardo,
ResponderEliminarPenso que o problema que tem em comunicar essas ideias é que as ideias são auto contraditórias.
Por exemplo, é impossível um deus pensar em todos os cardinais porque a expressão "todos os cardinais" é como a expressão "número ímpar divisivel por dois". É contraditória. Assumindo que o Bernardo rejeita que o seu deus consiga pensar em números ímpares que sejam divisiveis por dois, deve rejeitar também a noção de infinito que lhe está a atribuir por ser igualmente contraditória.
O facto de ser metafísica não o safa. A metafísica do número ímpar divisivel por dois é tão contraditória como a matemática do número ímpar divisível por dois.
Trata-se simplesmente das regras básicas de comunicação. Se dizemos algo que se contradiz deixamos de fazer sentido e de poder comunicar.