Probabilidades.

Um saco tem 100 berlindes, 20 dos quais azuis. Dizemos que há 20% de probabilidade de retirar um berlinde azul do saco por duas razões. Primeiro, assumimos que o berlinde é retirado ao acaso, num processo que se fosse repetido podia dar um resultado diferente. Ou seja, a cor do berlinde que sai é uma variável aleatória. E 20% pela frequência dos berlindes azuis na população. É isso que queremos dizer com probabilidade neste caso: a frequência na população de um valor que uma variável aleatória pode tomar.

A população pode não ser o conjunto dos berlindes. Se retirarmos um berlinde ao acaso, anotarmos a cor e o repusermos no saco, a população que estamos a considerar é o conjunto infinito de vezes que podemos tirar e repor berlindes no saco, e a probabilidade de 20% quer dizer que conforme nos aproximarmos de infinitas amostragens mais próximo de 20% será a fracção de vezes que saiu um berlinde azul. Em dez vezes pode sair um, nenhum ou cinco, mas em dez milhões de vezes a proporção vai andar muito perto dos 20%. Em infinitas é 20% certos.

E se tirarmos cada berlinde sem o repor no saco a probabilidade de sair azul vai depender das cores que saíram antes. Se o primeiro era azul a frequência de azuis no saco diminui e é menos provável sair outro azul a seguir. Eventualmente, se saem todos os azuis deixa de ser possível que saia azul novamente. Sair azul deixa de ser uma variável aleatória.

Imaginemos agora que nos dão um saco com um berlinde e nos perguntam qual a probabilidade de, retirando esse berlinde ao acaso, sair um berlinde azul. Se a pergunta fosse a probabilidade de sobrar um berlinde azul depois de retirar 99 dos 100 berlindes era fácil. Se vinte são azuis a probabilidade do último ser azul é 20%. Porque se enchermos o saco, retirarmos 99 ao acaso, anotarmos a cor do último e repetirmos isto infinitas vezes, veremos que em 20% dos casos o último berlinde é azul. Neste caso a cor do último é uma variável aleatória e as probabilidades são dadas pela fracção de vezes em que calha cada cor na população de infinitas repetições desta experiência.

Mas se a experiência que nos propõem começa logo com um berlinde no saco, aquele berlinde em particular, por muitas vezes que se repita o resultado será sempre o mesmo. Se esse berlinde for azul sai sempre azul. E se não for azul nunca vai sair azul. A cor desse berlinde não é uma variável aleatória e não faz sentido atribuir-lhe uma probabilidade neste caso em que é sempre o mesmo berlinde em todas as repetições da experiência.

Esta seca de post vem a propósito da contestação do João e do João Vasco à minha tese que não se pode falar da probabilidade de uma moeda ser equilibrada quando testamos essa moeda em particular (1). A hipótese da moeda ser equilibrada permite calcular a probabilidade de obter certos resultados. Por exemplo, 0.1% de probabilidade de sair dez caras em dez lançamentos. O que quer dizer que se repetirmos infinitas vezes a experiência de lançar dez vezes a moeda esperamos que só em 0.1% das vezes saiam dez caras.

Mas a moeda ser ou não equilibrada é como o saco com um berlinde. Ou é, e será em todas as repetições da experiência, ou não é e não será em nenhuma. Neste sentido de probabilidade só se pode calcular a probabilidade dos resultados assumindo a hipótese, não a probabilidade da hipótese. A hipótese não é uma variável aleatória; é sempre a mesma. Assim, para testar uma hipótese escolhe-se um limite (a confiança) para a probabilidade dos resultados abaixo do qual rejeitamos a hipótese. Mais correctamente, rejeitamos todas as hipóteses que atribuam aos resultados uma probabilidade inferior à confiança e aceitamos todas as outras. É daqui que vem a margem de erro. No entanto, esse nível de confiança é subjectivo e arbitrário. Se é 5%, 1% ou 10% temos de ser nós a escolher.

Uma alternativa é a probabilidade no sentido bayesiano. Numa análise bayesiana começa-se por atribuir uma probabilidade inicial à hipótese e depois calcular a probabilidade posterior dessa hipótese considerando os dados*. Mas o sentido de “probabilidade” aqui é diferente. A probabilidade de sair um berlinde azul ou da moeda calhar coroa é a frequência com que a variável aleatória toma esses valores na população. Em contraste, a probabilidade bayesiana é uma medida da confiança subjectiva** que, à partida, depositamos numa hipótese. A parte objectiva da análise bayesiana vem depois, na forma como alteramos essa estimativa à luz dos dados.

Ao João e ao João Vasco, possivelmente os únicos a chegar a este parágrafo, reitero que não podem dizer que a probabilidade de ser equilibrada a moeda que calhou dez vezes cara é a probabilidade de sair dez vezes cara se a moeda for equilibrada. O sentido frequentista da probabilidade dos lançamentos não se aplica à hipótese da moeda ser equilibrada. E a probabilidade “da hipótese”, no sentido bayesiano, não é da hipótese em si mas da confiança que inicialmente depositamos nela, e essa pode ser qualquer coisa***.

*Podem ver como na wikipedia, senão isto fica um testamento em vez de um post.
**Há muita gente a tentar encontrar uma forma objectiva de calcular as probabilidades iniciais. Se um dia conseguirem e se eu perceber como o fizeram, prometo que escrevo um post a corrigir isto.
***Excepto 0 e 1, senão fica tudo engatado e não há Bayes que nos valha. É o tal problema das certezas absolutas...

1- Comentários em A hipótese nula.