Axiomas e verdade.

O Dragão conta que os axiomas são «proposições absolutamente intuitivas e indiscutíveis»(1) e dá dois exemplos. Um da matemática, «Se x é um número e y é um número, então x+y é um número», e outro “da religião”, «Deus criou o universo». Deixo para outro post a mania de assumir que “a religião” é só a dele (noutras o universo não foi criado por deus nenhum) e vou só comentar a confusão nos axiomas.

Os axiomas não têm que ser intuitivos nem indiscutíveis. O 5º postulado de Euclides diz que, num plano, dada uma recta e um ponto fora da recta há exactamente uma recta que passa pelo ponto sem intersectar a primeira. É intuitivo mas podemos negá-lo e postular que há infinitas rectas nestas condições ou que não há nenhuma, deduzindo daí geometrias diferentes. Não está em causa se é intuitivo ou discutível. O que importa é que a teoria seja coerente e que corresponda à realidade, o que nos leva a duas noções diferentes de verdade.

O axioma “x=2” não é verdadeiro nem falso por si, mas em conjunto com “x só pode ter um valor” e “x=3” resulta em contradição. Nesse caso podemos dizer que um deles é falso e retirá-lo para resolver a contradição. Esta noção de verdade é importante na lógica e na matemática porque se aplica a conceitos abstractos que não correspondem a algo real, como “x=2” ou “a soma de dois números é um número”. Neste sentido as geometrias euclidianas e não-euclidianas são todas verdadeiras por coerência. Mas esta noção de verdade é só uma parte da história.

Se eu propuser o axioma “a Lua é feita de queijo”, por muito coerente que a teoria seja terá sempre o problema da Lua não ser feita de queijo. É por isso que os axiomas normalmente servem para definir conceitos e não para afirmar algo acerca da realidade. Postular que “a soma de dois números é um número” quando se define a operação “soma” é muito mais seguro que afirmar «Deus criou o universo». O primeiro axioma não depende de qualquer correspondência à realidade e pode ser considerado verdadeiro apenas por coerência com os seus parceiros na teoria. O segundo axioma depende de Deus ter mesmo criado o universo, senão é logo falso.

Os axiomas não precisam ser nem intuitivos nem indiscutíveis. Precisam ser compatíveis, porque da contradição tudo se deriva e uma teoria que só diz sim não serve para nada. A doutrina que Deus é um e Deus é três é exemplo de uma teoria incoerente de onde se deriva resmas de teologia mas só gasta papel.

E se a teoria é coerente temos que determinar em que circunstâncias a podemos aplicar, o que depende dos axiomas. Por exemplo, se um dos axiomas é “a Lua é feita de queijo” a teoria resultante só é aplicável se a Lua for feita de queijo. Caso contrário não se aplica. Ou seja, os axiomas exprimem as condições necessárias para que a teoria se aplique, e é por isso que normalmente não vale a pena discutir os axiomas em si. Ou correspondem à realidade e a teoria aplica-se ou não correspondem e a teoria não serve. O que vale a pena discutir é se os axiomas corresponderem à realidade e em que condições isso acontece.

Muitos crentes confundem isto. Pensam que por postular “Deus criou o universo” se justifica tirar alguma conclusão. Como axioma o seu papel é demarcar as condições em que se pode aplicar a teoria que dele deriva. É errado dizer que «se aceitarmos o axioma ou axiomas basilares, tudo o resto se extrai com perfeita lógica e acompanhado das devidas justificações.»(1) O resto é consequência lógica dos axiomas quer se aceite quer não. Não é uma escolha pessoal. Mas esse resto só corresponde à realidade se os axiomas também corresponderem, e não é por serem postulados ou aceites que se tornam mais verdadeiros.

A melhor forma de compreender um sistema axiomático é pondo um “se” à frente. “Se só uma recta for paralela à outra...”, “se a Lua for feita de queijo...”, “Se Deus tiver criado o Universo...”, “Se a soma de dois números for um número...” e assim por diante. Dessa forma percebe-se logo que o axioma não é algo que se escolha aceitar ou que «uma vez assumido, é inquestionável»(1). O axioma é a condição necessária para que a teoria se aplique.

Se o sinal estiver verde pode avançar. Inferir daqui que o sinal está verde é incorrecto e arriscado.

1- Dragão, 14-4-08, Fratricídios e axiomaquias