terça-feira, abril 15, 2008

Axiomas e verdade.

O Dragão conta que os axiomas são «proposições absolutamente intuitivas e indiscutíveis»(1) e dá dois exemplos. Um da matemática, «Se x é um número e y é um número, então x+y é um número», e outro “da religião”, «Deus criou o universo». Deixo para outro post a mania de assumir que “a religião” é só a dele (noutras o universo não foi criado por deus nenhum) e vou só comentar a confusão nos axiomas.

Os axiomas não têm que ser intuitivos nem indiscutíveis. O 5º postulado de Euclides diz que, num plano, dada uma recta e um ponto fora da recta há exactamente uma recta que passa pelo ponto sem intersectar a primeira. É intuitivo mas podemos negá-lo e postular que há infinitas rectas nestas condições ou que não há nenhuma, deduzindo daí geometrias diferentes. Não está em causa se é intuitivo ou discutível. O que importa é que a teoria seja coerente e que corresponda à realidade, o que nos leva a duas noções diferentes de verdade.

O axioma “x=2” não é verdadeiro nem falso por si, mas em conjunto com “x só pode ter um valor” e “x=3” resulta em contradição. Nesse caso podemos dizer que um deles é falso e retirá-lo para resolver a contradição. Esta noção de verdade é importante na lógica e na matemática porque se aplica a conceitos abstractos que não correspondem a algo real, como “x=2” ou “a soma de dois números é um número”. Neste sentido as geometrias euclidianas e não-euclidianas são todas verdadeiras por coerência. Mas esta noção de verdade é só uma parte da história.

Se eu propuser o axioma “a Lua é feita de queijo”, por muito coerente que a teoria seja terá sempre o problema da Lua não ser feita de queijo. É por isso que os axiomas normalmente servem para definir conceitos e não para afirmar algo acerca da realidade. Postular que “a soma de dois números é um número” quando se define a operação “soma” é muito mais seguro que afirmar «Deus criou o universo». O primeiro axioma não depende de qualquer correspondência à realidade e pode ser considerado verdadeiro apenas por coerência com os seus parceiros na teoria. O segundo axioma depende de Deus ter mesmo criado o universo, senão é logo falso.

Os axiomas não precisam ser nem intuitivos nem indiscutíveis. Precisam ser compatíveis, porque da contradição tudo se deriva e uma teoria que só diz sim não serve para nada. A doutrina que Deus é um e Deus é três é exemplo de uma teoria incoerente de onde se deriva resmas de teologia mas só gasta papel.

E se a teoria é coerente temos que determinar em que circunstâncias a podemos aplicar, o que depende dos axiomas. Por exemplo, se um dos axiomas é “a Lua é feita de queijo” a teoria resultante só é aplicável se a Lua for feita de queijo. Caso contrário não se aplica. Ou seja, os axiomas exprimem as condições necessárias para que a teoria se aplique, e é por isso que normalmente não vale a pena discutir os axiomas em si. Ou correspondem à realidade e a teoria aplica-se ou não correspondem e a teoria não serve. O que vale a pena discutir é se os axiomas corresponderem à realidade e em que condições isso acontece.

Muitos crentes confundem isto. Pensam que por postular “Deus criou o universo” se justifica tirar alguma conclusão. Como axioma o seu papel é demarcar as condições em que se pode aplicar a teoria que dele deriva. É errado dizer que «se aceitarmos o axioma ou axiomas basilares, tudo o resto se extrai com perfeita lógica e acompanhado das devidas justificações.»(1) O resto é consequência lógica dos axiomas quer se aceite quer não. Não é uma escolha pessoal. Mas esse resto só corresponde à realidade se os axiomas também corresponderem, e não é por serem postulados ou aceites que se tornam mais verdadeiros.

A melhor forma de compreender um sistema axiomático é pondo um “se” à frente. “Se só uma recta for paralela à outra...”, “se a Lua for feita de queijo...”, “Se Deus tiver criado o Universo...”, “Se a soma de dois números for um número...” e assim por diante. Dessa forma percebe-se logo que o axioma não é algo que se escolha aceitar ou que «uma vez assumido, é inquestionável»(1). O axioma é a condição necessária para que a teoria se aplique.

Se o sinal estiver verde pode avançar. Inferir daqui que o sinal está verde é incorrecto e arriscado.

1- Dragão, 14-4-08, Fratricídios e axiomaquias

13 comentários:

  1. eu peço desculpa de fazer copy/paste de um meu comentário noutro post do teu blogue mas o tempo é limitado:
    "a validade de uma crença, e nomeadamente de uma crença num sistema de valores, não depende primordialmente do critério "descrição verdadeira do mundo que nos rodeia"; a crença pode entender como determinante um outro axioma diferente desse e, consequentemente, considerar como critério determinante da validade da crença um outro axioma que não um simples diagnóstico de "maior ou menor aproximação à realidade"

    tanto mais que esse diagnóstico de "maior ou menor aproximação à realidade" não permite por ele próprio estar na origem de um sistema de valores (e é aqui que o termo "crença" faz sentido pois quanto ao resto estamos simplesmente a fazer diagnósticos de ordem probabílistica quanto à "maior ou menor aproximação à realidade" de uma dada teoria)

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  2. Timshel,

    «a validade de uma crença, e nomeadamente de uma crença num sistema de valores, não depende primordialmente do critério "descrição verdadeira do mundo que nos rodeia"; a crença pode entender como determinante um outro axioma diferente desse e,»

    Atenção que um axioma não é uma verdade necessária. É uma condição para que se justifique aceitar aquilo que dele se deriva. Não é por partir do axioma "a Lua é feita de queijo" que se justifica concluir que se pode comer a Lua.

    Mas concordo que para um sistema de valores a adequação à realidade não é o critério melhor. No entanto, nota que "Deus criou o universo" não é um valor. É uma afirmação acerca da realidade, acerca daquilo que é em vez de aquilo que deve ser. Se for como base de um sistema de valores teria que ser algo como "O ideal era um universo criado por um deus". Nota que nesse caso temos uma proposição cujo valor de verdade nem pode ser julgado pela adequação à realidade, precisamente porque é um juízo de valor e não de facto.

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  3. Sempre achei isto curioso: como é que alguém que nasceu em Israel tem feições tão... europeias? :)

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  4. António Parente16/04/08, 12:23

    Abobrinha

    Espero a sua repreensão ao Leandro e ao Sargento por produzirem ruído, não contribuirem com nada de positivo para a discussão e por fazerem comentários provocatórios sem qualquer sentido de humor.

    Se não o fizer, posso concluir que a sua actividade de policiamento da caixa de comentários é-me integralmente dirigida e tirarei daí as devidas conclusões.

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  5. Ludwig

    No percebi a primeira parte do teu comentário.

    Quanto à segunda, repara que a proposição "Deus criou o universo" é um axima que, precisamente por isso é indemonstrável, isto é situa-se fora do sistema e não se pode qualificá-lo enquanto facto ou enquanto valor.

    Uma qualquer proposição alternativa à origem do Universo está no mesmo plano (o de um axioma).

    O sistema que decorre de um ou outro axioma pode ser uma simples construção lógica.

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  6. está cheio de gralhas o meu anteior comentrio mas no tenho tempo para mais :)

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  7. Leandro e Sargento

    Venho por este meio repreendê-los. Não sei bem porquê, mas parece ser importante.

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  8. António Parente16/04/08, 14:52

    Abobrinha

    Se não sabe porquê, é grave. E comprova a minha suspeita: é ateísta.

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  9. Perdoai-me Scarlett Johansson, pois pequei.

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  10. Sargento,

    Não confundais a obra-prima do mestre com a prima do mestre-de-obra :|

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  11. Caro António Parente

    Eu não devia estar a alimentar esta discussão porque não leva a nada e porque está quase a entrar no campo pessoal, mas não gosto que me acusem de perseguir ninguém porque não tenho o hábito de o fazer.

    Eu fiz a observação que fiz porque me apeteceu e porque achei que você estava a dizer uma série de coisas que eu não achava confortáveis acerca de confiança na Ciência. Mais do que desconfortáveis, podem ser perigosas por, no limitem levarem à negação do conhecimento.

    O que eu acho da relação de cada um com Deus não é relevante e se este pessoal quer gozar com o Jesus Cristo não é comigo. Já aqui se falou que o "respeitinho" não é assim tão importante. Eu posso nem sempre gostar e tenho o direito de o exprimir, mas acho que a liberdade de expressão é fundamental. Goste eu ou não.

    E para sua informação, em nem sequer tinha lido estes comentários e só me dei conta deles porque surgiu o meu nome escarrapachado ali com a sua chamada de atenção.

    Se eu sou ou não ateia é comigo.

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  12. Mário Miguel16/04/08, 15:55

    O Melga, sempre Melga...

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