Inflexão.

Tenho implicado regularmente com quem usa a curva logística para prever quando a epidemia estará controlada. Em parte é feitio. Gosto de implicar. Mas, neste caso, tenho outras razões para isso.

Se pusermos um pouco de iogurte em leite morno, os bacilos começam a reproduzir-se. Cada um divide-se em dois, esses dois em quatro, oito, dezasseis, e assim por diante. A isto chama-se crescimento exponencial porque o número depende de uma constante elevada ao tempo e que, por isso, tem o tempo em expoente. Mas é mais fácil perceber a curva exponencial como sendo em cada instante proporcional ao que era no instante anterior. Seja a crescer seja a diminuir. Por exemplo, o pneu furado perde, a cada instante, uma fracção constante da pressão que tinha, num decaimento exponencial também.

Mas voltemos ao iogurte. Como o leite morno não é infinito, eventualmente os bacilos terão menos alimento e o seu crescimento irá abrandar até ficar tudo em iogurte. Assim, por causa desta limitação, o número de bacilos em função do tempo não dispara para o infinito mas faz uma curva em “S”, eventualmente estabilizando. A função logística é um bom modelo para estes casos em que o crescimento exponencial encrava no limite rígido da capacidade do sistema. É também isto que acontece quando um vírus se propaga tanto pela população que começa a ser difícil encontrar vítimas por infectar. Eventualmente há tanta gente doente ou imune que a infecção pára de crescer. Uma propriedade simpática da curva logística é que o ponto em que a taxa de crescimento deixa de aumentar e começa a diminuir (o famoso ponto de inflexão) corresponde a metade do valor máximo. Diz-nos logo onde a curva vai parar. Por isso muita gente procura o ponto de inflexão da COVID-19 para prever o patamar. Não é boa ideia.

O gráfico abaixo mostra o número de casos confirmados na Coreia do Sul contando a partir do dia em que houve pelo menos 100. Ajustando a curva logística aos dados até ao dia 15, até ao dia 16, e assim por diante até ao dia 20, o resultado é bastante consistente. Tendo passado o ponto de inflexão no dia 10, o abrandamento do crescimento a seguir sugere a tal curva em “S” que pára por volta dos oito mil casos. O problema é que não pára. E a razão para isto é que o “S”, neste caso, não tem nada que ver com o iogurte ou a infecção descontrolada. Com cinquenta milhões de habitantes, não é por ter oito mil infectados que o vírus fica com falta de espaço para crescer. O abrandamento deveu-se apenas à redução na taxa de novas infecções por causa das medidas tomadas e o crescimento a seguir depende do valor em que ficou essa taxa. E isso não dá para ver com a curva logística.

Para explorar isto corri umas simulações. Considero que uma pessoa infectada demora alguns dias até contagiar os outros, depois tem 50% de probabilidade de não ter sintomas, continuando a contagiar os outros até se curar. Se tiver sintomas acaba por ser testada*. São essas pessoas que notamos no número de confirmados. O gráfico abaixo mostra dois casos. Em ambos os casos, a infecção começa com 200 infectados, que uns dias depois se tornam contagiosos e começam a passar a doença a outra pessoa com 20% de probabilidade por dia. Isto dá o tal crescimento exponencial. Ao dia 40, nesta simulação, o governo toma medidas extraordinárias e a taxa de contágio cai abruptamente. Pode ver-se um efeito imediato no grupo das pessoas contagiosas. Mas isto só se vê na simulação. Na realidade, não sabemos o que se passa com essas pessoas porque só vemos o sub-conjunto que tem sintomas. Neste, o efeito surge gradualmente e aparenta chegar ao tal ponto de inflexão no dia 50, aproximadamente, quando a curva parece afastar-se da exponencial. Mas isto não é por ter chegado a meio caminho do máximo. Não é uma curva logística. É apenas o efeito da taxa de contágio ter diminuído por causa das medidas tomadas.

Isto também mostra como o resultado depende crucialmente da eficácia das medidas. O gráfico da direita mostra a simulação em que a probabilidade de contágio caiu para 1.2% por dia. Neste caso**, a propagação baixou o suficiente para a epidemia ficar controlada. Mas se as medidas tomadas baixarem a taxa de contágio dos 20% originais para 2.2% em vez de 1.2%, ficando aquém só um ponto percentual, a doença continua descontrolada. É por isso que me preocupa a travagem na queda da taxa de crescimento dos casos de COVID-19 em Portugal, que podemos ver no gráfico abaixo. Se chegarmos a 1 sabemos que o problema está controlado, pelo menos enquanto mantivermos as medidas de mitigação que temos agora em vigor. Mas até lá não adianta andar à procura do “ponto de inflexão” ou a fazer previsões de patamares com modelos logísticos. A curva logística é o modelo errado porque estamos muito longe de atingir o máximo de capacidade do vírus infectar a população. E o progresso futuro, mesmo mantendo as condições como estão agora, depende muito de diferenças demasiado pequenas para se detectar por enquanto olhando para os pontos.



* Na pasta partilhada incluí o código para estes gráficos e simulação. Estão lá os parâmetros para estas probabilidades para quem quiser ver, e simulo também os casos críticos, mortos e recuperados, mas esses detalhes não são importantes para este post. Está tudo aqui.
** A simulação é estocástica e não dá sempre exactamente os mesmos resultados. Mas corri várias vezes e, com estes valores, dá isto em geral.